Как найти высоту треугольника?

В заданиях школьного курса аналитической геометрии достаточно много внимания уделено нахождению высоты различных треугольников. Это не случайно, так как данные знания впоследствии имеют практическую ценность. Например, с помощью высоты треугольника можно определить высоту удаленных и недоступных для прямого измерения предметов. Но для этого нужно четко знать что такое высота и как ее найти. Известно, что высотой треугольника принято называть отрезок прямой, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону, или на ее мысленное продолжение. Соответственно сторона, на которую опускается высота называется основанием треугольника.

Высоты треугольников обладают интересными свойствами. Рассмотрим их коротко.

Точка пересечения трех высот, опущенных к трем основаниям треугольника называется ортоцентром. В остроугольных треугольниках, у которых все углы имеют значение менее 90 градусов ортоцентр находится внутри треугольника. В тупоугольном треугольнике, в котором один из углов имеет значение более 90 градусов, ортоцентр находится за пределами треугольника, а стороны, прилегающие к данному углу имеют мысленное продолжение до точки пересечения с их высотами.

В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной при прямом угле. Высота треугольника может быть найдена различными способами, в зависимости от типа самого треугольника и от того, какими исходные данные о нем известны. Рассмотрим наиболее частые встречающиеся условия.

1. Нахождение высоты треугольника через его стороны и полупериметр
   h = 2/a √p(p-a)(p-b)(p-c)
   где, p — величина полупериметра треугольника; a, b, c — стороны треугольника.
2. Когда известна величина одной из сторон треугольника и значение угла между этой стороной и основанием треугольника, то его высота может быть найдена из выражения:
   h = b ∙ sinγ = c ∙ sinβ
   
   
   
3. При известной длине основания и площади треугольника высота вычисляется по формуле:
   h = 2S/a
   где, S — площадь треугольника; a — длина основания треугольника.
4. Если известен радиус описанной вокруг треугольника окружности и две его стороны, то высота может быть найдена формуле:
   h = b ∙ c/2R
   где, R — радиус описанной вокруг треугольника окружности; b, c — стороны треугольника, не являющиеся его основанием.

В частном случае, когда треугольник является прямоугольным, а его основанием один из катетов, высота будет соответствовать величине другого катета и может быть найдена по теореме Пифагора, или соответствующим тригонометрическим функциям.