Согласно определению, многоугольником называется плоская фигура, образованная тремя и более пересекающимися прямым, образующими соответствующее количество точек пересечения. Точки пересечения прямых называют также вершинами многоугольника, а отрезки прямых - его сторонами. Многоугольник часто называют по количеству сторон его вершин четырех-, пяти-, шести-, семиугольником и так далее.
Еще одной важной характеристикой многоугольников является то, что смежные его отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные — не имеют общих точек. Данное определение проще понять взглянув на рисунок.
В нем шестиугольник слева является многоугольником, так его несмежные отрезки не пересекаются. Фигура, изображенная справа не является многоугольником, так как несмежные отрезки AD и EC, а также DB и EC имеют общую точку.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называют соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называют диагональю многоугольника.
Площадью многоугольника будет называться внутренняя часть плоскости, образованная разделяющими ее отрезками многоугольника.
Вариантов многоугольников может быть великое множество, что исключает нахождение универсального решения задачи нахождения их площади.
Поэтому, рассмотрим некоторые частные случаи того, как найти площадь многоугольника различными способами.
- Одним из частных случаев является правильный многоугольник — фигура, у которой все стороны и углы между ними равны. В этом случае площадь многоугольника может быть найдена, если известен радиус вписанной в него, или описанной окружности согласно следующей формуле:
S = ½∙P∙r
где P — периметр многоугольника, определяемый как произведение количества его сторон на их длину;
r — радиус вписанной в многоугольник окружности.
- Любопытное свойство многоугольников было обнаружено австрийским математиком Георгом Пиком. Он обнаружил, что многоугольник вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки могут быть найдены по формуле:
S = N + M/2 -1
где S — площадь многоугольника;
N — количество узлов сетки, расположенных внутри многоугольника;
M — количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника и на его вершины.
На представленном изображении узлы сетки на границе многоугольника обозначены синими точками, а узлы внутри фигуры - красным. Согласно формуле пика площадь данной фигуры составит 95 + 13/2 - 1 = 100,5 квадратных единиц. Теорема Пика интересна и красива, но практически не находит применения в условиях реальных задач.
- Гораздо чаще на практике для нахождения площади многоугольника применяют его разделение на более простые составляющие фигуры — прямоугольники, треугольники, трапеции, параллелограммы, нахождение площади которых хорошо известно. Задача, как найти площадь многоугольника в данном случае сводится к определению площади составляющих его простых фигур.
